证明定理 1.3

如果 \( N \ge{1} \), 则

\[ \sum_{i=1}^{N}{i^2} = \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6} \]

证明 : 用数学归纳法证明. 对于基准情形, 容易看到, 定理当 N = 1的时候成立.

对于归纳假设, 我们设定理对 \( 1 \le{k} \le{N} \) 成立. 我们将假设下证明定理对于 N + 1 也是成立的.

我们有

\[ \sum_{i=1}^{N+1}{i^2} = \sum_{i=1}^{N}{i^2} + (N + 1)^2 \]

应用归纳假设我们得到

\[ \sum_{i=1}^{N+1}{i^2} = \frac{N(N + 1)(2N + 1)}{6} + (N + 1)^2 \] \[ = (N + 1)[\frac{N(2N + 1)}{6} + (N + 1)] \] \[ = (N + 1)\frac{2N^{2} + 7N + 6}{6} \] \[ = \frac{(N + 1)(N + 2)(2N + 3)}{6} \]

因此

\[ \sum_{i=1}^{N+1}{i^2} = \frac{(N + 1)[(N + 1) + 1][2(N + 1) + 1]}{6} \]

定理得证

---