证明定理

定义: \( X^A=B \), 当且仅当 \( log_{x}B = A \)

\[ log_{A}B = \frac{log_{C}B}{log_{C}A}; C > 0 \]

证明

令 \( X=log_{C}B \), \( Y=log_{C}A \), 以及 \( Z=log_{A}B \)

此时由于对数的定义:

\[ X^N = B \]

得出

\[ N = log_{X}B \]

也就是以 X 为底, B 的对数是N

得出: \( C^X = B \), \( C^Y=A \), \( A^Y=B \)

联合这三个等式则产生

\[ (C^Y)^Z = C^X = B \]

根据

\[ X^AX^B=X^{AB} \]

所以 \( X = YZ \)

也就是 \( Z=\frac{X}{Y} \)

根据开始的定义得出

\[ log_{A}B = \frac{log_{C}B}{log_{C}A} \]

定理得证

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